Упр.15.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Точка А находится на расстоянии $$a$$ от вершин равностороннего треугольника со стороной $$a$$. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Пусть $$BCD$$ — данный равносторонний треугольник, а $$AB=AC=AD=a$$. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AO$$ на плоскость $$BCD$$.

Тогда прямоугольные треугольники $$AOB$$, $$AOC$$ и $$AOD$$ равны по гипотенузе и общему катету $$AO$$. Следовательно,

$$BO=CO=DO.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$BCD$$, то есть является центром описанной около него окружности. Тогда

$$BO=R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{2a^2}{3}} =a\sqrt{\frac23}.$$

Ответ: $$a\sqrt{\frac23}$$.