Упр.14.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник.

На луче $$AB$$ от точки $$A$$ построим произвольный угол в полуплоскость, не содержащую точку $$C$$. На второй стороне этого угла от точки $$A$$ последовательно отложим три равных отрезка $$AA_1$$, $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ произвольной длины.

Проведём прямую $$A_3B$$ и прямые, параллельные ей, через точки $$A_1$$ и $$A_2$$. Пусть они пересекают прямую $$AB$$ в точках $$B_1$$ и $$B_2$$ соответственно.

По теореме о пропорциональных отрезках получаем:

$$AB_1=B_1B_2=B_2B.$$

Треугольники $$ACB_1$$, $$B_1CB_2$$ и $$B_2CB$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$C$$ на прямую $$AB$$. Их основания равны, значит, равны и площади:

$$S_{ACB_1}=S_{B_1CB_2}=S_{B_2CB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}AB\cdot CH=\frac{1}{3}S_{ABC}.$$

Следовательно, прямые $$CB_1$$ и $$CB_2$$ делят данный треугольник на три равновеликие части.