Вопрос 15 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что правильные выпуклые $$n$$-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Пусть $$P_1=A_1A_2\dots A_n$$ и $$P_2=B_1B_2\dots B_n$$ — правильные выпуклые $$n$$-угольники.

Сначала докажем, что если их стороны равны, то многоугольники равны.

Рассмотрим треугольники $$A_1A_2A_3$$ и $$B_1B_2B_3$$. У правильных многоугольников

$$A_1A_2=B_1B_2,\qquad A_2A_3=B_2B_3,$$

а также

$$\angle A_1A_2A_3=\angle B_1B_2B_3$$

как внутренние углы правильных $$n$$-угольников. Значит, треугольники $$A_1A_2A_3$$ и $$B_1B_2B_3$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, существует движение, переводящее точки $$A_1,\ A_2,\ A_3$$ в точки $$B_1,\ B_2,\ B_3$$ соответственно. При этом вершина $$A_4$$ перейдёт в некоторую точку $$C$$.

Так как движение сохраняет расстояния и углы, то

$$B_2C=A_2A_4,\qquad \angle B_2B_3C=\angle A_2A_3A_4.$$

Но в правильных многоугольниках

$$A_2A_4=B_2B_4,\qquad \angle A_2A_3A_4=\angle B_2B_3B_4,$$

поэтому точка $$C$$ совпадает с точкой $$B_4$$. Значит, $$A_4$$ переходит в $$B_4$$.

Аналогично получаем, что $$A_5$$ переходит в $$B_5$$, и так далее. Следовательно, многоугольник $$P_1$$ совмещается с многоугольником $$P_2$$, то есть они равны.

Теперь докажем, что любые два правильных выпуклых $$n$$-угольника подобны. Применим к $$P_1$$ гомотетию с коэффициентом

$$k=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}.$$

Получим правильный $$n$$-угольник $$P’$$, у которого сторона равна стороне $$P_2$$. По уже доказанному, $$P’$$ и $$P_2$$ равны. Значит, $$P_1$$ и $$P_2$$ подобны.

Итак, правильные выпуклые $$n$$-угольники подобны; в частности, если их стороны равны, то они равны.