Упр.12.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Объясните, как найти расстояние от точки $$A$$ до недоступной точки $$B$$ (рис. 273), зная расстояние $$AC$$ и углы $$\alpha$$ и $$\beta$$.

В треугольнике $$ABC$$ известны сторона $$AC$$ и углы $$\angle A=\alpha$$, $$\angle C=\beta$$. Тогда третий угол равен

$$\angle B=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$$

Отсюда

$$AB=\frac{AC\cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{AC\cdot \sin \beta}{\sin\bigl(180^\circ-(\alpha+\beta)\bigr)}.$$

Так как $$\sin\bigl(180^\circ-x\bigr)=\sin x$$, получаем

$$AB=\frac{AC\cdot \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ: $$AB=\dfrac{AC\cdot \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}.$$