Упр.11.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, пересекает его сторону $$AC$$ в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ в точке $$B_1$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$A_1B_1C$$.

Отметим точку $$D$$ на прямой $$A_1B_1$$ по другую сторону от точки $$B_1$$ относительно точки $$A_1$$.

Так как $$AB \parallel A_1B_1$$, а прямая $$AC$$ является секущей, то

$$\angle AA_1D=\angle CAB$$

как внутренние накрест лежащие углы.

Кроме того, $$\angle CA_1B_1=\angle AA_1D$$ как вертикальные углы. Значит,

$$\angle CA_1B_1=\angle CAB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$. У них

$$\angle C=\angle C$$

— общий угол, и

$$\angle CAB=\angle CA_1B_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C$$ по двум углам.