Упр.8.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 15. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвёртой вершины D и точки пересечения его диагоналей. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 8-15 76

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда по свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $$O$$ — середина отрезков $$AC$$ и $$BD$$.

Найдём координаты точки $$O$$ как середины отрезка $$AC$$:

$$ x_O=\frac{1+3}{2}=2,\qquad y_O=\frac{0+2}{2}=1. $$

Значит, $$O(2;1)$$.

Теперь используем то, что $$O$$ — середина отрезка $$BD$$. Пусть $$D(x;y)$$. Тогда

$$ \frac{2+x}{2}=2,\qquad \frac{3+y}{2}=1. $$

Из первого уравнения:

$$ 2+x=4,\qquad x=2. $$

Из второго уравнения:

$$ 3+y=2,\qquad y=-1. $$

Следовательно, $$D(2;-1)$$.