Упр.9.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

При симметрии относительно некоторой прямой точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка $$Y$$.

Подробный ответ

Построим ось симметрии по точкам $$X$$ и $$X’$$.

Для этого проведём серединный перпендикуляр к отрезку $$XX’$$. Обозначим его через $$a$$. Тогда прямая $$a$$ является осью симметрии, так как она перпендикулярна отрезку $$XX’$$ и проходит через его середину.

Теперь нужно построить точку, симметричную точке $$Y$$ относительно прямой $$a$$.

Проведём окружность с центром в любой точке прямой $$a$$ так, чтобы она проходила через $$Y$$. Затем из другой точки прямой $$a$$ проведём окружность того же радиуса. Пусть вторая точка пересечения этих окружностей — $$Y’$$.

Тогда точки $$Y$$ и $$Y’$$ лежат на одной окружности с центрами на прямой $$a$$, значит общая хорда $$YY’$$ перпендикулярна прямой $$a$$ и делится ею пополам. Следовательно, точки $$Y$$ и $$Y’$$ симметричны относительно прямой $$a$$.

Искомая точка: $$Y’$$.