Вопрос 15 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любого угла $$\alpha$$, $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,$$

$$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,$$

$$\operatorname{ctg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha.$$

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и точку $$A(x;y)$$ на ней. Обозначим через $$A_1(x_1;y_1)$$ точку, симметричную точке $$A$$ относительно оси $$Oy$$. Тогда соответствующие углы равны $$\angle AOB=\alpha$$ и $$\angle A_1OB_1=180^\circ-\alpha$$.

Треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому

$$AB=A_1B_1,\qquad OB=OB_1.$$

Отсюда следует, что

$$y=y_1,\qquad x=-x_1.$$

Теперь найдём значения тригонометрических функций:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\angle A_1OB_1=\frac{y_1}{R}=\frac{y}{R}=\sin\alpha,$$

$$\cos(180^\circ-\alpha)=\cos\angle A_1OB_1=\frac{x_1}{R}=-\frac{x}{R}=-\cos\alpha.$$

Тогда

$$\ctg(180^\circ-\alpha)=\frac{\cos(180^\circ-\alpha)}{\sin(180^\circ-\alpha)}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\ctg\alpha.$$

Следовательно, для любого угла $$\alpha$$, где $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$, справедливо:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$