Вопрос 14 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что $$\sin \alpha$$ и $$\tg \alpha$$ возрастают при возрастании острого угла $$\alpha$$, а $$\cos \alpha$$ и $$\ctg \alpha$$ убывают.

Пусть $$\alpha$$ и $$\beta$$ — острые углы, причём $$\alpha<\beta$$. Отложим их от одной и той же полупрямой $$AB$$ в одной полуплоскости. Через точку $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AB$$; она пересечёт стороны углов в точках $$C$$ и $$D$$.

Так как $$\alpha<\beta$$, то точка $$C$$ лежит между точками $$B$$ и $$D$$, значит, $$BC<BD$$. Тогда из свойства наклонных, проведённых из одной точки к прямой, получаем $$AC<AD$$.

Теперь рассмотрим тригонометрические отношения:

$$\cos \alpha=\frac{AB}{AC}, \qquad \cos \beta=\frac{AB}{AD}.$$

Так как $$AC<AD$$, то

$$\cos \alpha>\cos \beta.$$

Следовательно, при возрастании острого угла косинус убывает.

Для синуса имеем:

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$$

Поскольку $$\cos \alpha$$ убывает при увеличении $$\alpha$$, то $$\sin \alpha$$ возрастает.

Кроме того,

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

Так как $$\sin \alpha$$ возрастает, а $$\cos \alpha$$ убывает, то $$\tg \alpha$$ возрастает, а $$\ctg \alpha$$ убывает.

Ответ: при возрастании острого угла $$\sin \alpha$$ и $$\tg \alpha$$ возрастают, а $$\cos \alpha$$ и $$\ctg \alpha$$ убывают.