Упр.14.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 14. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По условию диагонали относятся как $$1:2$$, значит можно записать:

$$\frac{BD}{AC}=\frac{1}{2}, \quad AC=2BD.$$

Площадь ромба выражается через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD.$$

Так как $$S=12\text{ см}^2$$, получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD=12.$$

Подставим $$AC=2BD$$:

$$\frac{1}{2}\cdot 2BD \cdot BD=12,$$

$$BD^2=12,$$

$$BD=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому

$$BO=\frac{BD}{2}=\sqrt{3}\text{ см}, \qquad AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}\text{ см}.$$

Ответ

$$\sqrt{15}\text{ см}$$