Упр.13.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: взятые через одну вершины правильного 2n- угольника
являются вершинами правильного n- угольника;
Даказательство:
1) Пусть A1 A2 A3…A2n-данный правильный 2n- угольник, у него все
стороны и все внутренние углы равны;
2) Соединим вершины данного многоугольника через одну, так как всего
вершин 2n, то получим n- угольник;
3) Рассмотрим равнобедренные треугольники A1 A2 A3, A3 A4 A5 и A5 A6 A7:
угол A2 = углу A4 = углу A6 и A1 A2=A2 A3=A3 A4=A4 A5=A5 A6=A6 A7;
Значит, эти три треугольника равны по первому признаку, отсюда:
A1 A3=A3 A5=A5 A7;
4) Так как угол A2 A3 A4 = углу A4 A5 A6, то из равенств:
угол A1 A3 A5 = углу A2 A3 A4- угол A1 A3 A2- угол A5 A3 A4;
угол A3 A5 A7 = углу A4 A5 A6- угол A3 A5 A4- угол A7 A5 A4;
Следует, что углы A1 A3 A5 и A3 A5 A7 равны;
5) Аналогично доказывается, что любые две стороны полученного
n- угольника равны, и углы между его соседними сторонами тоже равны,
значит этот многоугольник является правильным по определению, что
и требовалось доказать.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{2n}$$ — данный правильный $$2n$$-угольник. Тогда все его стороны равны, а все внутренние углы равны.

Соединим через одну вершины: $$A_1A_3,\ A_3A_5,\dots,\ A_{2n-1}A_1.$$ Получим $$n$$-угольник.

Рассмотрим равнобедренные треугольники $$A_1A_2A_3,$$ $$A_3A_4A_5$$ и $$A_5A_6A_7.$$ У них

$$\angle A_2=\angle A_4=\angle A_6,$$

а также

$$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7.$$

Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$A_1A_3=A_3A_5=A_5A_7.$$

Теперь сравним углы между соседними сторонами полученного $$n$$-угольника. Так как в правильном многоугольнике все внутренние углы равны, то

$$\angle A_2A_3A_4=\angle A_4A_5A_6.$$

Тогда

$$\angle A_1A_3A_5=\angle A_2A_3A_4-\angle A_1A_3A_2-\angle A_5A_3A_4,$$

$$\angle A_3A_5A_7=\angle A_4A_5A_6-\angle A_3A_5A_4-\angle A_7A_5A_4.$$

Поскольку соответствующие углы в равных треугольниках равны, получаем

$$\angle A_1A_3A_5=\angle A_3A_5A_7.$$

Аналогично доказывается, что все стороны полученного $$n$$-угольника равны и все его углы равны. Значит, этот $$n$$-угольник правильный.

Ответ

Взятые через одну вершины правильного $$2n$$-угольника являются вершинами правильного $$n$$-угольника.