Упр.5.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Докажите, что прямая $$AB$$ перпендикулярна прямой $$OO_1$$.
- Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
Пусть окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$.
1)
Докажем, что $$AB \perp OO_1$$.
Рассмотрим треугольники $$OAO_1$$ и $$OBO_1$$. Имеем:
- $$OA=OB$$, так как это радиусы одной окружности;
- $$O_1A=O_1B$$, так как это радиусы другой окружности;
- $$OO_1$$ — общая сторона.
Следовательно, $$\triangle OAO_1 \cong \triangle OBO_1$$ по трём сторонам. Значит, точки $$A$$ и $$B$$ равноудалены от прямой $$OO_1$$, а прямая $$OO_1$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.
Отсюда $$AB \perp OO_1$$.
2)
Докажем, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
Предположим, что кроме точек $$A$$ и $$B$$ окружности пересекаются ещё в точке $$C$$. Тогда по доказанному выше прямая, соединяющая любые две общие точки окружностей, перпендикулярна $$OO_1$$. Значит,
$$AC \perp OO_1 \quad \text{и} \quad BC \perp OO_1.$$
Но через точку $$C$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $$OO_1$$. Следовательно, прямые $$AC$$ и $$BC$$ совпадают, а значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой. Это невозможно, так как $$A$$ и $$B$$ — различные точки пересечения окружностей, а третья общая точка не может существовать.
Следовательно, две окружности могут пересекаться не более чем в двух точках.
