Упр.12.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.

Обозначим стороны треугольника через $$a=5$$ м, $$b=6$$ м, $$c=7$$ м. Найдём радиус $$R$$ описанной окружности.

По теореме косинусов для угла $$\alpha$$, противолежащего стороне $$a$$, имеем:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$$

откуда

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$

Тогда по основному тригонометрическому тождеству

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha,$$

значит

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2} =\frac{\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2bc}.$$

Из формулы для описанной окружности

$$\frac{a}{\sin\alpha}=2R,$$

получаем

$$R=\frac{a}{2\sin\alpha} =\frac{abc}{\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}.$$

Подставим значения:

$$R=\frac{5\cdot 6\cdot 7}{\sqrt{(2\cdot 6\cdot 7)^2-(6^2+7^2-5^2)^2}} =\frac{210}{\sqrt{84^2-60^2}} =\frac{210}{\sqrt{3456}}.$$

Упростим:

$$\sqrt{3456}=\sqrt{576\cdot 6}=24\sqrt{6},$$

поэтому

$$R=\frac{210}{24\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}} \text{ м}.$$

Ответ

$$\frac{35}{4\sqrt{6}} \text{ м}$$