Вопрос 14 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Построить: прямую, перпендикулярную данной прямой.
Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$O$$.
Рассмотрим два случая.
1. Точка $$O$$ не лежит на прямой $$a$$
Проведём из точки $$O$$ окружность произвольного радиуса, пусть она пересечёт прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.
Из точек $$A$$ и $$B$$ проведём окружности радиусами $$AO$$ и $$BO$$. Они пересекутся в точках $$O$$ и $$C$$.
Тогда прямая $$OC$$ пересечёт прямую $$a$$ в точке $$D$$. В треугольнике $$ABO$$ имеем $$AO=BO$$, значит он равнобедренный. Точка $$D$$ — середина отрезка $$AB$$, поэтому $$OD$$ — медиана равнобедренного треугольника, а значит, и высота. Следовательно,
$$OC \perp a.$$
2. Точка $$O$$ лежит на прямой $$a$$
Проведём из точки $$O$$ окружность произвольного радиуса, пусть она пересечёт прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.
Из точек $$A$$ и $$B$$ проведём окружности радиусом $$AB$$. Они пересекутся в точке $$C$$.
Тогда $$AC=BC$$, а также $$AO=BO$$, значит треугольники $$ACO$$ и $$BCO$$ равны по трём сторонам. Отсюда
$$\angle AOC=\angle COB.$$
Но углы $$\angle AOC$$ и $$\angle COB$$ смежные, значит каждый из них равен $$90^\circ$$. Следовательно,
$$OC \perp a.$$
Итак, через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, с помощью построения окружностей.
