Упр.15.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удалённых на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины.

Обозначим верхние концы столбов через $$A$$ и $$B$$, а их основания на земле — через $$C$$ и $$D$$. Тогда $$AC=5{,}8\text{ м}$$, $$BD=3{,}9\text{ м}$$, $$CD=3{,}4\text{ м}$$.

Так как столбы вертикальны, то $$AC\perp CD$$ и $$BD\perp CD$$, следовательно, $$AC\parallel BD$$. Значит, точки $$A,B,C,D$$ лежат в одной плоскости, а четырехугольник $$ACDB$$ — прямоугольная трапеция.

Опустим из точки $$B$$ высоту $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH\perp AC$$. Поскольку $$CD\perp AC$$, получаем $$BH\parallel CD$$. Следовательно, четырехугольник $$CDHB$$ — параллелограмм, откуда

$$BH=CD=3{,}4\text{ м}, \qquad HC=BD=3{,}9\text{ м}.$$

Тогда

$$AH=AC-HC=5{,}8-3{,}9=1{,}9\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2} =\sqrt{1{,}9^2+3{,}4^2} =\sqrt{3{,}61+11{,}56} =\sqrt{15{,}17}\approx 3{,}9\text{ м}.$$

Ответ: $$3{,}9\text{ м}$$.