Упр.14.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как $$1:2$$, а площадь ромба равна $$12\ \text{см}^2$$.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По условию диагонали относятся как $$1:2$$, значит, можно считать, что $$BD=x$$, тогда $$AC=2x$$.

Площадь ромба выражается через диагонали формулой

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.$$

Подставим данные:

$$12=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot x=x^2.$$

Следовательно,

$$x^2=12,\qquad x=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

Значит,

$$BD=2\sqrt{3}\text{ см},\qquad AC=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$BO=\frac{BD}{2}=\sqrt{3}\text{ см},\qquad AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}.$$

Следовательно, сторона ромба равна $$\sqrt{15}\text{ см}.$$

Ответ: $$\sqrt{15}\text{ см}.$$