Вопрос 14 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Построить: прямую, перпендикулярную данной прямой;
Построение:
Возможны два случая расположения точки O и прямой a:
I) Точка O не лежит на прямой a.
1) Из точки O проведем окружность произвольного радиуса, отметим
точки A и B на пересечении этой окружности и прямой a;
2) Из точек A и B проведем окружности радиусом AO и OB, они пересекутся в точках O и C;
3) Прямая OC-искомая, она пересечет прямую a в точке D;
4) Треугольник ABO-равнобедренный, OD-медиана (так как
точка D середина отрезка AB), значит OD-высота треугольник ABO, тогда
OC перпендикулярен a;
II) Точка O лежит на прямой a.
1) Из точки O проведем окружность произвольного радиуса, отметим
точки A и B на пересечении этой окружности и прямой a;
2) Из точек A и B проведем окружности радиусом AB, они пересекутся
в точке C;
3) Прямая OC-искомая.
5) Треугольники ACO и BCO равны по третьему признаку, значит
угол AOC = углу BOC, а так как они смежные, то CO перпендикулярен AB;

Возможны два случая расположения точки $$O$$ и прямой $$a$$.

1) Точка $$O$$ не лежит на прямой $$a$$.

Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса. Она пересекает прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Затем из точек $$A$$ и $$B$$ проводим окружности радиусами $$AO$$ и $$BO$$. Эти окружности пересекаются в точках $$O$$ и $$C$$.

Прямая $$OC$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$D$$. Так как $$AO=BO$$, то треугольник $$ABO$$ равнобедренный. Точка $$D$$ — середина отрезка $$AB$$, значит $$OD$$ — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому $$OD \perp AB$$. Следовательно, $$OC \perp a$$.

2) Точка $$O$$ лежит на прямой $$a$$.

Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса. Она пересекает прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Затем из точек $$A$$ и $$B$$ проводим окружности радиусом $$AB$$. Они пересекаются в точке $$C$$.

Прямая $$OC$$ — искомая. Действительно, $$AC=BC$$ по построению, $$AO=BO$$ как радиусы первой окружности, а $$CO$$ — общая сторона. Значит, треугольники $$ACO$$ и $$BCO$$ равны по третьему признаку. Тогда $$\angle AOC=\angle COB$$. Эти углы смежные, поэтому каждый из них равен $$90^\circ$$. Следовательно, $$OC \perp a$$.

Ответ

Чтобы провести через данную точку прямую, перпендикулярную данной прямой, строят две точки на данной прямой, равноудалённые от данной точки, а затем находят точку пересечения равных окружностей; соединяющая эту точку с данной точкой прямая и будет перпендикуляром к данной прямой.