Упр.13.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что взятые через одну вершины правильного $$2n$$-угольника являются вершинами правильного $$n$$-угольника.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{2n}$$ — данный правильный $$2n$$-угольник. Тогда все его стороны равны, а все внутренние углы равны.

Соединим через одну вершины: получим многоугольник $$A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$$. В нём ровно $$n$$ вершин.

Рассмотрим равнобедренные треугольники $$A_1A_2A_3$$, $$A_3A_4A_5$$ и $$A_5A_6A_7$$. Так как $$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$$ и $$\angle A_2=\angle A_4=\angle A_6$$, то эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

$$A_1A_3=A_3A_5=A_5A_7.$$

Теперь сравним углы между соседними сторонами полученного $$n$$-угольника. Из равенства соответствующих треугольников получаем, что

$$\angle A_1A_3A_5=\angle A_3A_5A_7.$$

Аналогично доказывается, что все стороны многоугольника $$A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$$ равны и все его углы равны.

Значит, этот многоугольник является правильным.