Вопрос 14 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Сформулируйте и докажите свойство и признак описанного четырёхугольника.

Подробный ответ

Пусть стороны описанного четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности в точках $$K, L, M, N$$.

По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

$$AK=AN,\quad BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$

Тогда

$$\begin{aligned} AB+CD&=(AK+KB)+(CM+MD),\\ AD+BC&=(AN+ND)+(BL+LC). \end{aligned}$$

Так как $$AK=AN$$, $$BK=BL$$, $$CL=CM$$, $$DM=DN$$, то

$$AB+CD=AD+BC.$$

Это и есть свойство описанного четырёхугольника.

Докажем обратное утверждение. Пусть у выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ суммы противолежащих сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Если $$ABCD$$ — ромб, то он описан около окружности, и утверждение верно. Рассмотрим случай, когда соседние стороны не равны. Пусть $$AB>BC$$, тогда $$AD>CD$$.

Отложим на сторонах с общей вершиной $$A$$ отрезки $$BM=BC$$ и $$DN=CD$$. Тогда из равенства

$$AB+CD=BC+AD$$

получаем

$$AB-BC=AD-CD,$$

а значит,

$$AM=AN.$$

Следовательно, треугольник $$AMN$$ равнобедренный. Кроме того, треугольники $$CBM$$ и $$CDN$$ тоже равнобедренные, так как

$$BM=BC,\qquad DN=CD.$$

Медианы этих равнобедренных треугольников, проведённые к их основаниям, являются одновременно высотами и биссектрисами. Поэтому прямые, содержащие эти медианы, пересекаются в одной точке $$O$$, а лучи $$AO$$, $$BO$$ и $$DO$$ являются биссектрисами углов $$A$$, $$B$$ и $$D$$ четырёхугольника $$ABCD$$.

Точка, лежащая на биссектрисах углов, равноудалена от сторон угла. Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон четырёхугольника $$ABCD$$, следовательно, в него можно вписать окружность.

Итак, если в выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны, то он описан около окружности.