Упр.11.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$. Опустим из вершины прямого угла высоту $$CH$$ на гипотенузу $$AB$$.

Тогда $$\angle AHC=90^\circ$$ и $$\angle CHB=90^\circ$$, то есть треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$ прямоугольные.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$\angle A+\angle B=90^\circ$$, то

$$\angle A=90^\circ-\angle B.$$

В треугольнике $$AHC$$ угол при вершине $$A$$ равен углу исходного треугольника:

$$\angle HAC=\angle A.$$

В треугольнике $$CHB$$ угол при вершине $$B$$ также равен углу исходного треугольника:

$$\angle CBH=\angle B.$$

Следовательно, у треугольников $$AHC$$ и $$ABC$$ равны по два угла:

$$\angle AHC=\angle C=90^\circ,\qquad \angle HAC=\angle A.$$

Значит, $$\triangle AHC \sim \triangle ABC$$.

Аналогично, у треугольников $$CHB$$ и $$ABC$$ равны по два угла:

$$\angle CHB=\angle C=90^\circ,\qquad \angle CBH=\angle B.$$

Значит, $$\triangle CHB \sim \triangle ABC$$.

Итак, высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.