Упр.10.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что для векторов $$\mathrm{АВ}$$, $$\mathrm{ВС}$$ и $$\mathrm{АС}$$ имеет место неравенство $$|\mathrm{AC}|<|\mathrm{AB}|+|\mathrm{BC}|$$.
- Докажите, что для любых векторов $$a$$ и $$b$$ имеет место неравенство $$|a+b|<|a|+|b|$$.
1) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По правилу сложения векторов
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
Длина вектора равна длине соответствующего отрезка, поэтому
$$|\overrightarrow{AC}|=AC,\quad |\overrightarrow{AB}|=AB,\quad |\overrightarrow{BC}|=BC.$$
По неравенству треугольника для треугольника $$ABC$$ имеем
$$AC<AB+BC.$$
Следовательно,
$$|\overrightarrow{AC}|<|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|.$$
2) Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$ для некоторых точек $$A,B,C$$. Тогда по правилу сложения векторов
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.$$
Из пункта 1 получаем
$$|\overrightarrow{AC}|<|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|,$$
то есть
$$|\vec a+\vec b|<|\vec a|+|\vec b|.$$
