Упр.3.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. На основании $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ даны точки $$A_1$$ и $$B_1$$. Известно, что $$AB_1=BA_1$$. Докажите, что треугольники $$AB_1C$$ и $$BA_1C$$ равны.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AC=BC$$ и $$\angle A=\angle B$$.

По условию $$AB_1=BA_1$$. Рассмотрим треугольники $$CB_1C$$ и $$BA_1C$$.

У них:

• $$CB_1=BA_1$$;
• $$BC=AC$$;
• $$\angle CBA_1=\angle BCA_1$$ не требуется, достаточно заметить, что треугольники $$AB_1C$$ и $$BA_1C$$ имеют по две равные стороны.

Удобнее рассмотреть треугольники $$AB_1C$$ и $$BA_1C$$. В них:

• $$AB_1=BA_1$$ по условию;
• $$AC=BC$$, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный;
• $$B_1C$$ и $$A_1C$$ — общая сторона не подходит, поэтому используем равенство соответствующих углов при основании равнобедренного треугольника: $$\angle ABC=\angle BAC$$.

Следовательно, треугольники $$AB_1C$$ и $$BA_1C$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$AB_1=BA_1$$, $$BC=AC$$, $$\angle ABC=\angle BAC$$.

Значит, $$\triangle AB_1C \cong \triangle BA_1C$$, что и требовалось доказать.

Ответ: $$\triangle AB_1C=\triangle BA_1C$$.