Упр.2.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: три из четырех углов при пересекающихся прямых равны:
Доказать: прямые перпендикулярны;
Доказательство:
1) Пусть a и b-данные пересекающиеся прямые;
2) Разобьем их точкой пересечения на полупрямые a1, a2, b1 и b2;
3) По условию: угол (a1 b2) = углу (a2 b1) = углу (a2 b2);
4) Сумма смежных углов равна 180°, значит:
угол (a1 b2)=180°- угол (a1 b1) и угол (a2 b1)=180°- угол (a2 b2);
5) Вертикальные углы равны, значит:
угол (a2 b2) = углу (a1 b1);
угол (a2 b1) = углу (a1 b2)=180°- угол (a1 b1);
6) Найдем эти углы:
(180°- угол (a1 b1))=(180°- угол (a1 b1)) = углу (a1 b1);
180°=2угол (a1 b1), отсюда угол (a1 b1)=180/2=90°;
7) Прямые a и b пересекаются под прямым углом (90°), следовательно
они перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$O$$. Обозначим образовавшиеся углы через $$\angle a_1b_1$$, $$\angle a_1b_2$$, $$\angle a_2b_1$$ и $$\angle a_2b_2$$.

По условию три из четырёх углов равны. Тогда равны и вертикальные им углы, а смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$.

Пусть, например, равны углы $$\angle a_1b_2=\angle a_2b_1=\angle a_2b_2$$. Тогда

$$ \angle a_1b_2=180^\circ-\angle a_1b_1, $$
$$ \angle a_2b_2=\angle a_1b_1 $$
(как вертикальные углы).

Так как $$\angle a_1b_2=\angle a_2b_2$$, получаем

$$ 180^\circ-\angle a_1b_1=\angle a_1b_1. $$

Отсюда

$$ 180^\circ=2\angle a_1b_1, $$
$$ \angle a_1b_1=90^\circ. $$

Значит, прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны.