Упр.14.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: площадь ромба равна половине произведения диагоналей;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный ромб с диагоналями: BD=d1 и AC=d2;
2) Пусть O-точка пересечения его диагоналей;
3) По свойству ромба: AB=BC=CD=DA, AC перпендикулярен BD и AO=OC=d2/2;
4) Площадь ромба ABCD равна сумме площадей треугольника ABD и треугольника BCD:
SABCD=SABD+SBCD;
5) треугольник ABD = треугольник BCD (по третьему признаку), значит их площади равны;
6) Тогда площадь ромба равна удвоенной площади треугольника ABD:
SABCD=2•SABD=2•(1/2 BD•AO)=BD•AO=d1•d2/2=1/2 (d1•d2 ),
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, его диагонали $$BD=d_1$$ и $$AC=d_2$$, а $$O$$ — точка их пересечения.

По свойствам ромба $$AB=BC=CD=DA$$, диагонали ромба перпендикулярны, а также делят друг друга пополам, значит $$AO=OC=\frac{d_2}{2}$$.

Площадь ромба равна сумме площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}.$$

Треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$ равны по третьему признаку, следовательно, их площади равны. Тогда

$$S_{ABCD}=2S_{ABD}.$$

Найдём площадь треугольника $$ABD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot AO.$$

Подставим $$AO=\frac{d_2}{2}$$ и $$BD=d_1$$:

$$ S_{ABCD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot BD \cdot AO =BD\cdot AO =d_1\cdot \frac{d_2}{2} =\frac{1}{2}d_1d_2. $$

Следовательно, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.