Упр.13.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найти: сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из
внешних углов которого равен 1) 36°; 2) 24°;
Решение:
У правильного многоугольника все внутренние углы равны, а значит и
смежные с ними внешине углы также равны, примем их градусную
меру за Альфа, тогда сумма всех внешних углов равна: S= Альфа • n;
Согласно доказаному в задаче 13.9 сумма всех внешних углов выпуклого
многоугольника составляет: S=360°;

У правильного многоугольника все внешние углы равны. Обозначим величину каждого внешнего угла через $$\alpha$$, а число сторон — через $$n$$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $$360^\circ$$, значит

$$\alpha \cdot n = 360^\circ,$$

откуда

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha}.$$

1) Если $$\alpha=36^\circ$$, то

$$n=\frac{360^\circ}{36^\circ}=10.$$

2) Если $$\alpha=24^\circ$$, то

$$n=\frac{360^\circ}{24^\circ}=15.$$

Ответ

1) $$10$$ сторон; 2) $$15$$ сторон.