Вопрос 13 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём $$AB=BC$$, так как все стороны ромба равны. Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.

Поскольку $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$, проведённая к основанию $$AC$$, то по свойству равнобедренного треугольника она является одновременно биссектрисой и высотой. Значит,

$$BO\perp AC$$

и

$$\angle ABO=\angle OBC.$$

Но $$BO$$ лежит на диагонали $$BD$$, а $$AC$$ — другая диагональ ромба. Следовательно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а каждая диагональ является биссектрисой углов ромба.