Упр.12.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в теореме синусов a/sin =b/sin =c/sin =2R, где R-радиус
окружности, описанной около треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, у которого:
AB=c, BC=a, AC=b, угол A=, угол B= и угол C=;
2) Опишем около треугольника ABC окружность, с центром в точке O;
3) Проведем диаметр BD, тогда: BD=2R;
4) По свойству вписанных углов:
— Если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC, тогда:
угол CDB = углу BAC=a;
— Если точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC, тогда:
угол CDB=180°- угол BAC=180°-a (так как их соответствующие
центральные углы являются дополнительными друг друг);
5) По свойству синуса угла: sina=sin(180°-a);
6) Значит, в любом случае, в прямоугольном треугольнике BCD:
sin угла CDB=BC/BD = > sina=a/2R, отсюда 2R=a/sina ;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$BC=a$$, $$CA=b$$, $$AB=c$$, а $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$, $$\angle C=\gamma$$.

Опишем около треугольника $$ABC$$ окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$ и проведём её диаметр $$BD$$. Тогда

$$BD=2R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCD$$. Угол $$\angle CDB$$ — вписанный, опирающийся на хорду $$CB$$. Поэтому он равен либо $$\angle CAB=\alpha$$, либо $$180^\circ-\alpha$$. В обоих случаях

$$\sin \angle CDB=\sin \alpha.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$BCD$$

$$\sin \angle CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}.$$

Следовательно,

$$\sin \alpha=\frac{a}{2R}, \qquad \frac{a}{\sin \alpha}=2R.$$

Аналогично, проводя диаметры через другие вершины, получаем

$$\frac{b}{\sin \beta}=2R, \qquad \frac{c}{\sin \gamma}=2R.$$

Значит,

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R.$$