Упр.4.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны, причём точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от секущей $$BC$$ (см. рис. 77). Докажите, что:
- углы $$DBC$$ и $$ACB$$ внутренние накрест лежащие относительно секущей $$BC$$;
- луч $$BC$$ проходит между сторонами угла $$ABD$$;
- углы $$CAB$$ и $$DBA$$ внутренние односторонние относительно секущей $$AB$$.
Так как $$AC \parallel BD$$, то прямая $$BC$$ является секущей этих параллельных прямых.
1) Углы $$DBC$$ и $$ACB$$ — внутренние накрест лежащие относительно секущей $$BC$$, поскольку точки $$D$$ и $$A$$ лежат по разные стороны от прямой $$BC$$, а стороны этих углов лежат на параллельных прямых $$BD$$ и $$AC$$.
2) Докажем, что луч $$BC$$ проходит между сторонами угла $$ABD$$. Точки $$A$$ и $$D$$ лежат на сторонах угла $$ABD$$ и находятся по разные стороны от прямой $$BC$$, значит прямая $$BC$$ пересекает отрезок $$AD$$ в некоторой точке $$X$$. Через точку $$X$$ проведём прямую $$x$$, параллельную $$AC$$ и $$BD$$. Тогда точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от $$x$$, а точка $$C$$ лежит в той же полуплоскости, что и $$A$$, точка $$B$$ — в той же полуплоскости, что и $$D$$. Следовательно, отрезок $$BC$$ пересекает отрезок $$AD$$, а значит луч $$BC$$ проходит между сторонами угла $$ABD$$.
3) Так как луч $$BC$$ проходит внутри угла $$ABD$$, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от секущей $$AB$$. Следовательно, углы $$CAB$$ и $$DBA$$ — внутренние односторонние относительно секущей $$AB$$.
