Вопрос 13 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вопрос о пересечении окружности:
1) Пусть R-радиус окружности и d-расстояние от центра окружности
до прямой;
2) Примем центр окружности за начало координат, а ось x за прямую
перпендикулярную к данной, тогда:
x^2+y^2=R^2-уравнение окружности и x=d-уравнение прямой;
3) Для того, чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы
система двух уравнений: x^2+y^2=R^2, x=d имела решение;
4) И обратно: всякое решение этой системы дает координаты x и y
точки пересечения прямой с окружностью;
5) Решая систему, получим: x=d и y=±v(R^2-d^2);
6) Так как числа R и d-положительные, то:
— Система имеет два решения, то есть окружность и прямая имеют две
точки пересечения, если R > d;
— Система имеет два решения, то есть окружность и прямая касаются,
если R=d;
— Система не имеет решения, то есть прямая и окружность не пересе-
каются, если R < d;

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$d$$ — расстояние от её центра до прямой.

Рассмотрим систему координат так, чтобы центр окружности был в начале координат, а данная прямая имела уравнение $$x=d$$. Тогда уравнение окружности имеет вид $$x^2+y^2=R^2$$.

Точки пересечения прямой и окружности должны удовлетворять системе

$$ \begin{cases} x^2+y^2=R^2,\\ x=d. \end{cases} $$

Подставим $$x=d$$ в уравнение окружности:

$$ d^2+y^2=R^2, $$

откуда

$$ y=\pm\sqrt{R^2-d^2}. $$

Теперь рассмотрим возможные случаи:

если $$R>d$$, то $$R^2-d^2>0$$, и система имеет два решения; значит, прямая и окружность пересекаются в двух точках;
если $$R=d$$, то $$R^2-d^2=0$$, и система имеет одно решение; значит, прямая касается окружности;
если $$R<d$$, то $$R^2-d^2<0$$, и действительных решений нет; значит, прямая и окружность не пересекаются.