Упр.15.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$, пересекающие её в точках $$C$$ и $$D$$ соответственно. Найдите расстояние между точками $$A$$ и $$B$$, если $$AC=3\ \text{м}$$, $$BD=2\ \text{м}$$, $$CD=2{,}4\ \text{м}$$ и отрезок $$AB$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.

Так как $$AC \perp \alpha$$ и $$BD \perp \alpha,$$ то прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны. Кроме того, отрезок $$CD$$ лежит в плоскости $$\alpha,$$ значит

$$AC \perp CD,\qquad BD \perp CD.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ACDB$$ — прямоугольная трапеция. Опустим из точки $$B$$ высоту $$BH$$ на прямую $$AC.$$ Тогда $$BH \perp AC,$$ а так как $$CD \perp AC,$$ то $$BH \parallel CD.$$

Из этого следует, что четырёхугольник $$CDHB$$ — параллелограмм, поэтому

$$BH=CD=2{,}4\text{ м},\qquad HC=BD=2\text{ м}.$$

Тогда

$$AH=AC-HC=3-2=1\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2} =\sqrt{1^2+2{,}4^2} =\sqrt{1+5{,}76} =\sqrt{6{,}76} =2{,}6\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}6\text{ м}.$$