Вопрос 13 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сформулируйте и докажите свойство и признак вписанного четырёхугольника.

Пусть четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Тогда его противоположные углы являются вписанными углами, опирающимися на дополнительные дуги, поэтому

$$\angle A+\angle C=\frac12\cdot 360^\circ=180^\circ.$$

Аналогично

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Следовательно, у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$.

Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Опишем окружность около треугольника $$ABD$$. Тогда точка $$C$$ должна лежать на этой окружности, если покажем, что

$$\angle ACD=\angle ABD.$$

Но из условия

$$\angle C=180^\circ-\angle A.$$

С другой стороны, в окружности, описанной около треугольника $$ABD$$, вписанный угол, опирающийся на хорду $$BD$$, равен

$$180^\circ-\angle A.$$

Значит, угол $$\angle ACD$$ равен соответствующему вписанному углу, и точка $$C$$ принадлежит той же окружности. Следовательно, все четыре вершины $$A,B,C,D$$ лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность.

Итак, для четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, и наоборот: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $$180^\circ$$, то около него можно описать окружность.