Упр.12.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений $$\frac{a}{\sin\alpha}$$, $$\frac{b}{\sin\beta}$$, $$\frac{c}{\sin\gamma}$$ равно $$2R$$, где $$R$$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$, $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$, $$\angle C=\gamma$$.

Опишем около треугольника $$ABC$$ окружность с центром в точке $$O$$ и проведём её диаметр $$BD$$. Тогда

$$BD=2R,$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCD$$. По свойству вписанных углов угол $$\angle CDB$$ либо равен $$\angle CAB=\alpha$$, либо равен $$180^\circ-\alpha$$. В обоих случаях

$$\sin \angle CDB=\sin \alpha,$$

так как $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$.

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$BCD$$

$$\sin \angle CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}.$$

Следовательно,

$$\sin\alpha=\frac{a}{2R},$$

откуда

$$\frac{a}{\sin\alpha}=2R.$$

Аналогично, проводя диаметр через другие вершины, получаем

$$\frac{b}{\sin\beta}=2R,\qquad \frac{c}{\sin\gamma}=2R.$$

Значит,

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.$$