Упр.3.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. От вершины $$C$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AB$$ отложены равные отрезки: $$CA_1$$ на стороне $$CA$$ и $$CB_1$$ на стороне $$CB$$. Докажите равенство треугольников: 1) $$CA B_1$$ и $$CB A_1$$; 2) $$AB B_1$$ и $$BA A_1$$.

1) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$CA=CB$$ и $$\angle A=\angle B$$.

Кроме того, по условию $$AB_1=BA_1$$.

Тогда в треугольниках $$CAB_1$$ и $$CBA_1$$:

• $$CA=CB$$;
• $$AB_1=BA_1$$;
• $$\angle CAB_1=\angle CBA_1$$, так как это углы при основании равнобедренного треугольника.

Следовательно, $$\triangle CAB_1 \cong \triangle CBA_1$$ по первому признаку равенства треугольников.

2) Из равенства $$\triangle CAB_1 \cong \triangle CBA_1$$ получаем $$CB_1=CA_1$$.

Но по условию $$CA_1=CB_1$$, значит, точки $$A_1$$ и $$B_1$$ делят равные стороны $$CA$$ и $$CB$$ на равные отрезки.

Тогда

$$AA_1=CA-CA_1,\qquad BB_1=CB-CB_1.$$

Так как $$CA=CB$$ и $$CA_1=CB_1$$, то $$AA_1=BB_1$$.

Теперь в треугольниках $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$:

• $$AB$$ — общая сторона;
• $$BB_1=AA_1$$;
• $$\angle ABB_1=\angle BAA_1$$, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$.

Следовательно, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle BAA_1$$ по первому признаку равенства треугольников.