Вопрос 13 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$d$$ — расстояние от её центра до прямой.

Рассмотрим уравнения окружности и прямой в системе координат, где центр окружности находится в начале координат, а прямая имеет вид $$x=d$$. Тогда окружность задаётся уравнением

$$x^2+y^2=R^2,$$

а прямая — уравнением $$x=d$$.

Подставим $$x=d$$ в уравнение окружности:

$$d^2+y^2=R^2,$$

откуда

$$y=\pm\sqrt{R^2-d^2}.$$

Теперь возможны три случая:

• если $$R>d$$, то $$R^2-d^2>0$$ и получается два значения $$y$$, значит, прямая и окружность пересекаются в двух точках;
• если $$R=d$$, то $$R^2-d^2=0$$ и получается одно значение $$y$$, значит, прямая касается окружности;
• если $$R<d$$, то $$R^2-d^2<0$$ и действительных решений нет, значит, прямая и окружность не пересекаются.

Ответ: прямая и окружность пересекаются в двух точках, если $$d<R$$; касаются, если $$d=R$$; не пересекаются, если $$d>R$$.