Упр.15.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 12. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-12 76

Подробный ответ

Обозначим $$AB=CD=a,$$ $$BC=AD=b,$$ $$AK=x.$$

Так как $$AK \perp$$ плоскости прямоугольника $$ABCD,$$ то треугольники $$ABK,$$ $$ACK$$ и $$ADK$$ прямоугольные с прямым углом при $$A.$$ Тогда по теореме Пифагора:

$$BK^2=AB^2+AK^2=a^2+x^2,$$
$$CK^2=AC^2+AK^2,$$
$$DK^2=AD^2+AK^2=b^2+x^2.$$

Найдём диагональ прямоугольника $$ABCD$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+b^2.$$

По условию $$BK=7,$$ $$CK=9,$$ $$DK=6,$$ значит:

$$a^2+x^2=49,$$
$$a^2+b^2+x^2=81,$$
$$b^2+x^2=36.$$

Сложим первое и третье равенства:

$$a^2+b^2+2x^2=49+36=85.$$

Но из второго равенства $$a^2+b^2+x^2=81.$$ Вычтем его из предыдущего:

$$x^2=85-81=4,$$
$$x=2.$$

Следовательно, $$AK=2\text{ м}.$$