Вопрос 12 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Объясните, как разделить данный угол пополам.

Построить биссектрису данного угла.

Пусть дан угол с вершиной $$A$$. Чтобы разделить его пополам, строят биссектрису следующим образом.

1. Из точки $$A$$ проводят окружность произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$.
2. Из точек $$B$$ и $$C$$ тем же радиусом проводят окружности. Пусть они пересекутся в точке $$D$$, лежащей внутри угла.
3. Соединяют точку $$A$$ с точкой $$D$$. Луч $$AD$$ — искомая биссектриса.

Докажем это. По построению $$AB=AC$$, $$BD=CD$$, а сторона $$AD$$ — общая. Значит, треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ равны по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle DAB=\angle CAD.$$

Следовательно, луч $$AD$$ делит угол $$A$$ пополам, то есть является его биссектрисой.