Вопрос 12 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: внешний угол треугольника равен сумме двух других
внутренних углов, не смежных с ним;
Доказательство:
1) Пусть дан треугольник ABC с внешним углом DBC при вершине B;
2) Так как углы CBA и CBD смежные по определению внешнего угла,
то угол CBA+ угол CBD=180°, отсюда угол CBD=180°- угол CBA;
3) Сумма углов треугольника равна 180°, значит:
угол CAB+ угол ACB+ угол CBA=180°, отсюда угол CBD=180°-(угол CAB+ угол ACB);
4) Таким образом, угол CBA = углу CAB+ угол ACB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ внешний угол при вершине $$B$$ — это угол $$CBD$$.

Углы $$CBA$$ и $$CBD$$ смежные, поэтому

$$\angle CBA+\angle CBD=180^\circ,$$

откуда

$$\angle CBD=180^\circ-\angle CBA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle CAB+\angle ACB+\angle CBA=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle CBD=180^\circ-(\angle CAB+\angle ACB).$$

Сравнивая полученные выражения, получаем

$$\angle CBD=\angle CAB+\angle ACB.$$