Упр.13.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) $$135^\circ$$; 2) $$150^\circ$$?

У правильного многоугольника все внутренние углы равны. Пусть каждый внутренний угол равен $$\alpha$$, а число сторон равно $$n$$.

Сумма внутренних углов многоугольника равна $$180^\circ(n-2)$$, значит, для правильного многоугольника

$$\alpha n=180^\circ(n-2).$$

Преобразуем:

$$\alpha n=180^\circ n-360^\circ$$

$$n(\alpha-180^\circ)=-360^\circ$$

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}.$$

1) Если $$\alpha=135^\circ$$, то

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-135^\circ}=\frac{360^\circ}{45^\circ}=8.$$

2) Если $$\alpha=150^\circ$$, то

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-150^\circ}=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12.$$

Ответ: 1) 8 сторон; 2) 12 сторон.