Вопрос 12 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Как построить правильный выпуклый шестиугольник? Треугольник? Четырёхугольник? Восьмиугольник?
Для построения правильного выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, достаточно отложить на окружности равные дуги, то есть построить соответствующий центральный угол.
Ход решения
1. Правильный шестиугольник. У правильного шестиугольника центральный угол равен
$$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$
Значит, сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности. Берём на окружности произвольную точку $$A_1$$ и, не изменяя раствора циркуля, последовательно откладываем на окружности ещё пять равных хорд. Получаем точки $$A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$$. Соединив их последовательно, получаем правильный шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$.
2. Правильный треугольник. Построим правильный вписанный шестиугольник и соединим его вершины через одну. Тогда треугольник $$A_1A_3A_5$$ будет правильным, так как его стороны являются равными хордами, соответствующими центральным углам по $$120^\circ$$.
3. Правильный четырёхугольник (квадрат). У квадрата центральный угол равен
$$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.$$
Построим диаметр $$AC$$ окружности и через её центр $$O$$ проведём перпендикуляр к этому диаметру. Он пересечёт окружность в точках $$B$$ и $$D$$. Соединим точки $$A, B, C, D$$ последовательно. Получим квадрат $$ABCD$$.
4. Правильный восьмиугольник. Построим правильный вписанный четырёхугольник $$A_1A_3A_5A_7$$. Затем построим серединные перпендикуляры к его сторонам и отметим на окружности точки $$A_2, A_4, A_6, A_8$$. После этого последовательно соединим все восемь точек. Получим правильный восьмиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$$.
Ответ
Правильный шестиугольник строится откладыванием на окружности хорд, равных радиусу; правильный треугольник — соединением через одну вершин правильного шестиугольника; квадрат — по двум взаимно перпендикулярным диаметрам; правильный восьмиугольник — делением дуг между вершинами квадрата пополам.
