Вопрос 12 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Подробный ответ

Пусть $$CD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, где $$D \in AB$$.

Если $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то $$AC=BC$$. В этом случае биссектриса из вершины $$C$$ является также медианой, значит $$AD=DB$$. Тогда

$$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD},$$

то есть

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}.$$

Рассмотрим теперь случай $$AC\ne BC$$. Опустим перпендикуляры $$AF$$ и $$BE$$ на прямую $$CD$$.

Прямоугольные треугольники $$ACF$$ и $$BCE$$ подобны, так как у них равны острые углы при вершине $$C$$. Поэтому

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BE}.$$

Прямоугольные треугольники $$ADF$$ и $$BDE$$ также подобны, так как у них равны углы при вершине $$D$$ как вертикальные. Следовательно,

$$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BD}.$$

Из двух равенств получаем

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}.$$

Перемножая крест-накрест, имеем

$$AC\cdot BD=BC\cdot AD,$$