Вопрос 12 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 12. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Подробный ответ

Пусть $$CD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, где точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$. Докажем, что

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}.$$

Если треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то $$AC=BC$$, а биссектриса из вершины $$C$$ является также медианой. Тогда $$AD=DB$$, и требуемое соотношение выполняется.

Рассмотрим случай $$AC\ne BC$$. Опустим перпендикуляры $$AF$$ и $$BE$$ из точек $$A$$ и $$B$$ на прямую $$CD$$.

Треугольники $$ACF$$ и $$BCE$$ прямоугольные, а углы при вершине $$C$$ у них равны, так как $$CD$$ — биссектриса. Значит,

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BE}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADF$$ и $$BDE$$. У них углы при вершине $$D$$ равны как вертикальные, поэтому эти треугольники подобны. Следовательно,

$$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BD}.$$

Из двух равенств получаем:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}.$$

Перемножая крест-накрест, имеем

$$AC\cdot BD=BC\cdot AD,$$

откуда

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}.$$

Таким образом, биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.