Упр.9.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: точку C’, симметричную точке C относительно прямой AB;
Построение:
1) Пусть даны точки A, B и C.
2) Из точки C проведем окружность произвольного радиуса и отметим
точки E и F на пересечении этой окружности и прямой AB;
3) Из точек E и F проведем окружности радиуса EC и отметим точку C’
на втором из пересечений этих двух окружностей;
4) Отметим точку O на пересечении прямых CC’ и AB;
5) CC’ перпендикулярен AB и CO=OC’ (по свойству прямой, проведенной между
центрами двух окружностей и их общей хорды), значит точка C’
симметрична точке C относительно прямой AB.

Подробный ответ

Пусть даны точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Нужно построить точку $$C’$$, симметричную точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.

1) Проведём из точки $$C$$ окружность произвольного радиуса, пересекающую прямую $$AB$$ в точках $$E$$ и $$F$$.

2) Из точек $$E$$ и $$F$$ проведём окружности радиуса $$EC$$. Обозначим через $$C’$$ вторую точку их пересечения.

3) Соединим точки $$C$$ и $$C’$$, а также отметим точку $$O$$ пересечения прямых $$CC’$$ и $$AB$$.

Так как $$CE=EC’$$ и $$FE=FC’$$, то точки $$E$$ и $$F$$ равноудалены от $$C$$ и $$C’$$. Следовательно, прямая $$AB$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$CC’$$.

Значит, $$CC’ \perp AB$$ и $$CO=OC’$$. Поэтому точка $$C’$$ симметрична точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.