Вопрос 12 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любых трёх векторов $$a$$, $$b$$, $$c$$ $$a+(b+c)=(a+b)+c$$.

Пусть $$\vec a=(a_1,a_2),\quad \vec b=(b_1,b_2),\quad \vec c=(c_1,c_2).$$

Тогда

$$\vec b+\vec c=(b_1+c_1,\; b_2+c_2),$$

и левая часть равенства равна

$$\vec a+(\vec b+\vec c)=(a_1,a_2)+(b_1+c_1,\; b_2+c_2)=(a_1+b_1+c_1,\; a_2+b_2+c_2).$$

С другой стороны,

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1,\; a_2+b_2),$$

поэтому правая часть равна

$$(\vec a+\vec b)+\vec c=(a_1+b_1,\; a_2+b_2)+(c_1,c_2)=(a_1+b_1+c_1,\; a_2+b_2+c_2).$$

Координаты левой и правой частей совпадают, значит, совпадают и сами векторы. Следовательно,

$$\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c.$$

Ответ

$$\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c.$$