Упр.4.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: угол ABC=80°; угол BCD=120°;
Выяснить: могут ли прямые AB и CD быть параллельными;
Решение:
Проведем прямую, проходящую через точки, лежащие на отрезках
AB и CD, она разделит плоскость на две полуплоскости:
1) Если точки B и C находятся в разных полуплоскостях, то углы
ABC и BCD являются накрест лежащими при пересечении прямых
AB и CD с секущей BC, а так как они не равны, то прямые AB и CD
не параллельны (теорема 4.3);
2) Если точки B и C находятся в одной полуплоскости, то углы
ABC и BCD являются внутренними односторонними, так как
угол ABC+ угол BCD=80°+120°=200° не равен 180°, то прямые AB и CD
не параллельны (теорема 4.3);
Ответ: не может.

Подробный ответ

Рассмотрим прямую $$BC$$ как секущую для прямых $$AB$$ и $$CD$$.

Возможны два случая расположения точек $$B$$ и $$C$$ относительно прямых $$AB$$ и $$CD$$.

1) Если точки $$B$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях, то углы $$\angle ABC$$ и $$\angle BCD$$ являются накрест лежащими. При параллельных прямых они должны быть равны, но

$$\angle ABC=80^\circ,\qquad \angle BCD=120^\circ,$$

значит, они не равны. Следовательно, $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны.

2) Если точки $$B$$ и $$C$$ лежат в одной полуплоскости, то углы $$\angle ABC$$ и $$\angle BCD$$ являются внутренними односторонними. При параллельных прямых их сумма должна быть равна $$180^\circ$$, но

$$\angle ABC+\angle BCD=80^\circ+120^\circ=200^\circ\neq 180^\circ.$$

Значит, и в этом случае прямые $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны.

Итак, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельными быть не могут.