Упр.13.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: у четырехугольника, описанного около окружности, суммы
длин противолежащих сторон равны;
Доказательство:
1) Пусть стороны описанного четырехугольника ABCD касаются
окружности с центром в точке O в точках: K, L, M и N;
2) Отрезки AB, BC, CD и DA являются касательными к окружности,
а отрезки OK, OL, OM и ON являются ее радиусами, следовательно:
AB?OK, BC?OL, CD?OM и DA?ON;
3) Прямоугольные треугольники AKO и ANO равны по гпотенузе и
катету (AO-общая гипотенуза и OK=OL=R), отсюда: AK=AN;
4) Аналогично, через равенства прямоугольных треугольников
треугольник BKO= треугольник BLO, треугольник CLO = треугольник CMO и треугольник DMO= треугольник DNO, доказывается, что:
BK=BL, CL=CM и DM=DN;
5) Получаем:
(AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC), то есть
AB+CD=AD+BC, что и требовалось доказать.

Пусть стороны четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности с центром в точке $$O$$ в точках $$K, L, M, N$$ соответственно.

Тогда $$AB, BC, CD$$ и $$DA$$ — касательные к окружности, а $$OK, OL, OM, ON$$ — радиусы, поэтому

$$AB \perp OK,\quad BC \perp OL,\quad CD \perp OM,\quad DA \perp ON.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$ANO$$. У них $$AO$$ — общая гипотенуза, а $$OK=ON$$ как радиусы одной окружности. Следовательно, $$\triangle AKO \cong \triangle ANO$$ по гипотенузе и катету, откуда

$$AK=AN.$$

Аналогично получаем равенства прямоугольных треугольников:

$$\triangle BKO \cong \triangle BLO,\quad \triangle CLO \cong \triangle CMO,\quad \triangle DMO \cong \triangle DNO,$$

откуда

$$BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$

Теперь сложим равные отрезки на сторонах четырёхугольника:

$$AB=AK+KB,\quad BC=BL+LC,\quad CD=CM+MD,\quad AD=AN+ND.$$

Тогда

$$ AB+CD=(AK+KB)+(CM+MD) $$
$$ =(AN+ND)+(BL+LC)=AD+BC. $$

Следовательно, суммы длин противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.

Ответ

$$AB+CD=BC+AD.$$