Вопрос 11 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Выведите формулу площади круга.

Пусть $$O$$ — центр круга, $$R$$ — его радиус. Построим два правильных $$n$$-угольника: один вписанный в круг, другой описанный около круга.

Обозначим через $$a$$ половину центрального угла этих многоугольников. Тогда при достаточно большом $$n$$ многоугольники всё точнее приближают круг.

Для вписанного правильного $$n$$-угольника его площадь равна сумме площадей $$n$$ равных треугольников с основанием, равным стороне многоугольника, и высотой $$R$$. Поэтому

$$S_1=\frac{1}{2}pR\cos a,$$

где $$p$$ — периметр вписанного многоугольника.

Для описанного правильного $$n$$-угольника аналогично получаем

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{pR}{\cos a}.$$

При увеличении числа сторон $$n$$ периметр $$p$$ стремится к длине окружности $$l=2\pi R$$, а $$a\to 0$$, значит $$\cos a\to 1$$. Тогда площади обоих многоугольников стремятся к площади круга:

$$S=\frac{lR}{2}=\frac{2\pi R\cdot R}{2}=\pi R^2.$$

Ответ: $$S=\pi R^2$$.