Упр.13.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
Пусть стороны четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности с центром в точке $$O$$ в точках $$K, L, M, N$$ соответственно.
Тогда $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ — касательные к окружности, а $$OK, OL, OM, ON$$ — радиусы, поэтому
$$AB \perp OK,\quad BC \perp OL,\quad CD \perp OM,\quad DA \perp ON.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$ANO$$. У них $$AO$$ — общая гипотенуза, а $$OK=ON$$ как радиусы одной окружности. Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету, откуда
$$AK=AN.$$
Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BKO$$ и $$BLO$$ получаем
$$BK=BL,$$
из равенства треугольников $$CLO$$ и $$CMO$$ получаем
$$CL=CM,$$
а из равенства треугольников $$DMO$$ и $$DNO$$ получаем
$$DM=DN.$$
Теперь сложим равные отрезки на сторонах четырёхугольника:
$$AB=AK+KB,\quad BC=BL+LC,\quad CD=CM+MD,\quad DA=DN+NA.$$
Тогда
$$AB+CD=(AK+KB)+(CM+MD)$$
$$=(AN+ND)+(BL+LC)=AD+BC.$$
Следовательно, у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:
$$AB+CD=BC+AD.$$
