Вопрос 11 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырёхугольника (квадрата), шестиугольника.

Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности выражается формулой $$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},$$ а радиус вписанной окружности — формулой $$r=\frac{a}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$

1) Для правильного треугольника $$n=3,\quad \frac{180^\circ}{3}=60^\circ.$$ Тогда

$$R=\frac{a}{2\sin60^\circ}=\frac{a}{\sqrt3},\qquad r=\frac{a}{2\tan60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt3}.$$

2) Для правильного четырёхугольника (квадрата) $$n=4,\quad \frac{180^\circ}{4}=45^\circ.$$ Тогда

$$R=\frac{a}{2\sin45^\circ}=\frac{a}{\sqrt2},\qquad r=\frac{a}{2\tan45^\circ}=\frac{a}{2}.$$

3) Для правильного шестиугольника $$n=6,\quad \frac{180^\circ}{6}=30^\circ.$$ Тогда

$$R=\frac{a}{2\sin30^\circ}=a,\qquad r=\frac{a}{2\tan30^\circ}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Ответ: правильный треугольник: $$R=\frac{a}{\sqrt3},\ r=\frac{a}{2\sqrt3};$$ квадрат: $$R=\frac{a}{\sqrt2},\ r=\frac{a}{2};$$ правильный шестиугольник: $$R=a,\ r=\frac{a\sqrt3}{2}.$$