Вопрос 11 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 11. Выведите формулу площади круга.

Пусть $$O$$ — центр круга, $$R$$ — его радиус. Рассмотрим два правильных $$n$$-угольника: один вписан в круг, другой описан около него.

Обозначим через $$a$$ половину центрального угла этих многоугольников. Тогда при увеличении числа сторон $$n$$ угол $$a$$ стремится к нулю.

Площадь вписанного правильного $$n$$-угольника можно представить как сумму площадей $$n$$ равных треугольников. Для одного такого треугольника

$$S_{AOD}=\frac{1}{2}\,AD\cdot OC=AC\cdot OC=AC\cdot AO\cdot \cos \angle AOC.$$

Так как $$AO=R$$, а $$\angle AOC=a$$, то

$$S_{P_1}=nS_{AOD}=\frac{pR}{2}\cos a,$$

где $$p$$ — периметр вписанного многоугольника.

Аналогично для описанного правильного $$n$$-угольника получаем

$$S_{P_2}=\frac{pR}{2\cos a}.$$

При достаточно большом $$n$$ периметр $$p$$ вписанного и описанного многоугольников сколь угодно мало отличается от длины окружности $$l$$, а $$\cos a$$ сколь угодно мало отличается от $$1$$. Значит, площади этих многоугольников стремятся к площади круга.

Следовательно, площадь круга равна

$$S=\frac{lR}{2}.$$

Так как $$l=2\pi R$$, то

$$S=\frac{2\pi R\cdot R}{2}=\pi R^2.$$

Ответ

$$S=\pi R^2$$