Вопрос 11 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$. Тогда $$AD$$ и $$DB$$ — проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на гипотенузу.

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$. Они оба прямоугольные, а кроме того, $$\angle ACD=\angle CBD$$, так как каждый из этих углов дополняет до $$90^\circ$$ угол $$\angle ACB$$. Значит, $$\triangle ACD \sim \triangle CBD$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DB}$$

Отсюда

$$CD^2=AD\cdot DB,$$

то есть

$$CD=\sqrt{AD\cdot DB}.$$

Следовательно, высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу.