Упр.9.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки:

отрезку;
углу;
треугольнику?

Подробный ответ

При центральной симметрии каждая точка фигуры переходит в точку, лежащую на продолжении прямой, проходящей через центр симметрии, причём центр является серединой отрезка, соединяющего соответствующие точки.

1) Фигура, симметричная отрезку

Пусть точка $$A$$ переходит в $$A’$$, а точка $$B$$ — в $$B’$$ относительно точки $$O$$. Тогда $$O$$ — середина отрезков $$AA’$$ и $$BB’$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABA’B’$$. Его диагонали $$AA’$$ и $$BB’$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам, значит, $$ABA’B’$$ — параллелограмм. Поэтому

$$AB=A’B’.$$

Следовательно, фигура, симметричная отрезку, — это отрезок, равный данному.

2) Фигура, симметричная углу

Возьмём на сторонах угла $$\angle AOB$$ произвольные точки $$A$$ и $$B$$ и отразим их относительно точки $$S$$ в точки $$A’$$ и $$B’$$, а вершину $$O$$ — в точку $$O’$$.

Тогда отрезки $$A’O’$$, $$O’B’$$ и $$A’B’$$ соответственно равны и симметричны отрезкам $$AO$$, $$OB$$ и $$AB$$. Значит, треугольники $$A’O’B’$$ и $$AOB$$ равны по трём сторонам, откуда

$$\angle A’O’B’=\angle AOB.$$

Следовательно, фигура, симметричная углу, — это угол, равный данному.

3) Фигура, симметричная треугольнику

Пусть точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ симметричны точкам $$A$$, $$B$$ и $$C$$ относительно точки $$O$$. Тогда

$$A’B’=AB,\quad B’C’=BC,\quad A’C’=AC.$$

Следовательно, треугольники $$A’B’C’$$ и $$ABC$$ равны по трём сторонам. Значит, фигура, симметричная треугольнику, — это треугольник, равный данному.