Упр.5.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются;
Найти: расстояние между центрами окружностей;
Решение:
1) Пусть a-общая касательная к этим окружностям и A-точка
касания;
2) По свойству касательных a перпендикулярен AO1 и a перпендикулярен AO2, значит прямые, на
которых лежат отрезки AO1 и AO2 параллельны, но они имеют общую
точку A, значит они совпадают;
3) Отрезки O1 A и AO2 лежат на одной прямой, значит искомое расстояние
равно длине отрезка O1 O2;
4) В случае внешнего касания окружностей:
O1 O2=O1 A+AO2=30+40=70 см;
5) В случае внутреннего касания окружностей:
O1 O2=|O1 A-AO2 |=|30-40|=10 см;
Ответ: 10 см.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — общая касательная к окружностям, а $$A$$ — точка касания.

По свойству касательной $$a \perp O_1A$$ и $$a \perp O_2A$$. Значит, прямые, на которых лежат отрезки $$O_1A$$ и $$O_2A$$, параллельны. Так как они имеют общую точку $$A$$, то эти прямые совпадают. Следовательно, точки $$O_1, A, O_2$$ лежат на одной прямой.

Тогда расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $$O_1O_2$$.

При внешнем касании:

$$O_1O_2=O_1A+AO_2=30+40=70\text{ см}.$$

При внутреннем касании:

$$O_1O_2=\left|O_1A-AO_2\right|=\left|30-40\right|=10\text{ см}.$$