Упр.7.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, где $$BC=5\text{ м}$$, $$AD=11\text{ м}$$, $$AB=CD=4\text{ м}$$.

Из вершин $$B$$ и $$C$$ опустим высоты $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на сторону $$AD$$. Тогда $$BB_1\perp AD$$ и $$CC_1\perp AD$$, значит $$BB_1\parallel CC_1$$.

Четырёхугольник $$BB_1C_1C$$ — параллелограмм, поэтому $$B_1C_1=BC=5\text{ м}$$ и $$BB_1=CC_1$$.

Прямоугольные треугольники $$ABB_1$$ и $$DCC_1$$ равны по гипотенузе и острому углу, так как $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$ в равнобокой трапеции. Следовательно, $$AB_1=C_1D$$.

Тогда

$$AD=AB_1+B_1C_1+C_1D=2AB_1+B_1C_1.$$

Подставим известные значения:

$$11=2AB_1+5,$$

откуда

$$AB_1=\frac{11-5}{2}=3\text{ м}.$$

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$:

$$BB_1=\sqrt{AB^2-AB_1^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt7\text{ м}.$$

Следовательно, высота трапеции равна $$\sqrt7\text{ м}$$, то есть примерно $$2{,}6\text{ м}$$.

Ответ: $$\sqrt7\text{ м}\approx 2{,}6\text{ м}$$.