Упр.15.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;
2) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см;
3) АВ = b, ВС = a, AD = d;
4) BD = с, ВС = a, AD = d.
Дано: прямые AB, AC и AD попарно перпендикулярны;
Найти: длину отрезка CD;
Решение:
Прямые AB, AD и AD попарно перпендикулярны, следовательно
треугольники ABC, ABD и ACD прямоугольные с прямым углом A;
Согласно теореме Пифагора:
BC^2=AB^2+AC^2,BD^2=AB^2+AD^2 и CD^2=AC^2+AD^2;

Подробный ответ

Так как прямые $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ попарно перпендикулярны, то треугольники $$ABC$$, $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные с прямым углом при $$A$$.

По теореме Пифагора:

$$BC^2=AB^2+AC^2,$$
$$BD^2=AB^2+AD^2,$$
$$CD^2=AC^2+AD^2.$$

1) Если $$AB=3$$ см, $$BC=7$$ см, $$AD=1{,}5$$ см, то

$$AC^2=BC^2-AB^2=7^2-3^2=49-9=40,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{40+1{,}5^2}=\sqrt{40+2{,}25}=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\text{ см}.$$

2) Если $$BD=9$$ см, $$BC=16$$ см, $$AD=5$$ см, то

$$AB^2=BD^2-AD^2=9^2-5^2=81-25=56,$$
$$AC^2=BC^2-AB^2=16^2-56=256-56=200,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{200+5^2}=\sqrt{200+25}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$

3) Если $$AB=b$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$, то

$$AC^2=BC^2-AB^2=a^2-b^2,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{a^2-b^2+d^2}.$$

4) Если $$BD=c$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$, то

$$AB^2=BD^2-AD^2=c^2-d^2,$$
$$AC^2=BC^2-AB^2=a^2-(c^2-d^2)=a^2-c^2+d^2,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{a^2-c^2+d^2+d^2}=\sqrt{a^2-c^2+2d^2}.$$