Вопрос 10 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?

В прямоугольном треугольнике для острого угла $$\alpha$$ выполняются соотношения:

$$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\qquad \cos \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Отсюда:

$$\text{противолежащий катет}=\text{гипотенуза}\cdot \sin \alpha,$$
$$\text{прилежащий катет}=\text{гипотенуза}\cdot \cos \alpha.$$

Также из определений тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}},\qquad \ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$$

Следовательно,

$$\text{противолежащий катет}=\text{второй катет}\cdot \tg \alpha,$$
$$\text{прилежащий катет}=\text{второй катет}\cdot \ctg \alpha.$$

Ответ: $$1)$$ $$\text{противолежащий катет}=\text{гипотенуза}\cdot \sin \alpha;$$ $$2)$$ $$\text{прилежащий катет}=\text{гипотенуза}\cdot \cos \alpha;$$ $$3)$$ $$\text{противолежащий катет}=\text{второй катет}\cdot \tg \alpha;$$ $$4)$$ $$\text{прилежащий катет}=\text{второй катет}\cdot \ctg \alpha.$$